فرارو- انتشار مجموعه‌ای از دستاوردهای نوین محاسباتی توسط شرکت اوپن‌ای‌آی، موجب ایجاد بحث‌های عمیق و گسترده‌ای در بین برجسته‌ترین ریاضی‌دانان و فیزیک‌دانان جهان درباره حد و مرزهای هوش مصنوعی در درک مفاهیم بنیادی علوم پایه شده است.
به گزارش فرارو به نقل از نیویورک تایمز، در ماه شهریور، اوپن‌ای‌آی مدعی شد که به راه‌حلی ساختاریافته برای یکی از هفت «مسئله جایزه هزاره» در حوزه ریاضی دست یافته است. این مسئله، تحت عنوان معادلات ناویه-استوکس شناخته می‌شود و از مدت‌ها قبل برای توصیف رفتار و دینامیک سیالاتی مانند آب و هوا به کار گرفته شده است. این خبر با ایجاد هیجانی فراوان، موجی از شگفتی، سردرگمی و تردید را در میان محافل علمی ریاضی به وجود آورد.
با این وجود، زمانی که این شرکت به‌طور رسمی دستاوردهای پژوهشی خود را منتشر کرد، برهان قطعی تازه‌ای برای حل کامل دیگر مسائل هزاره در آن دیده نمی‌شد. اما بررسی دقیق‌تر اسناد منتشر شده نشان می‌دهد که برخی از یافته‌های الگوریتمی این آزمایشگاه هوش مصنوعی، نشانگر گام‌های اساسی به سمت جلو در حل پنج معمای باقی‌مانده از مهم‌ترین پرسش‌های تاریخ ریاضی است.
این مسائل تخصصی که درک آنها نیازمند دانش عمیقی است، چه هستند؟ بررسی دقیق مفاهیم بنیادی این معماها روشن می‌سازد که دستاوردهای جدید تا چه حد می‌توانند راه را برای دستیابی به پاسخ‌های نهایی هموار کنند و یا حداقل افق‌های جدیدی برای پژوهشگران بگشایند.
فرضیه ریمان: راز در نظم اعداد اول
این مسئله نخستین بار در مقاله‌ای که در سال ۱۸۵۹ توسط ریاضی‌دان مشهور آلمانی، برنهارت ریمان، منتشر شد، مطرح گردید و به بررسی سرشت و توزیع اعداد اول در امتداد محور بی‌نهایت اعداد می‌پردازد. اعداد اول اعدادی طبیعی و بزرگ‌تر از یک هستند که تنها بر خود و یک تقسیم‌پذیری دارند؛ مانند اعداد ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱ و ۱۳. هرچه به جلو در محور اعداد حرکت می‌کنیم، فراوانی این اعداد کاهش می‌یابد؛ به طوری که تا عدد ۱۰۰، حدود ۲۵ درصد اعداد اول هستند، اما این نسبت تا عدد یک میلیون به حدود ۷.۸ درصد کاهش می‌یابد.
ریمان با ارائه فرضیه‌ای ریاضی، رابطه‌ای دقیق برای شمارش و پیش‌بینی تعداد اعداد اول پیش از هر عدد مشخص ارائه داد، اما پیش از آنکه بتواند این فرضیه را به‌طور کامل اثبات کند، در سن ۳۹ سالگی درگذشت. پیتر سارناک، استاد ریاضیات دانشگاه پرینستون و موسسه مطالعات عالی، این فرضیه را معضلی بزرگ و در عین حال بی‌نهایت ساده می‌داند. او بر این باور است که اثبات این گزاره یک واقعه تاریخی خواهد بود که ابعاد مختلفی از علوم را دچار تحول می‌کند.
جامعه ریاضی‌دانان معمولاً این فرضیه را درست می‌دانند؛ اما در صورتی که نادرستی آن ثابت شود، آن‌گاه پایه‌های بسیاری از مفروضات پیشین نابود خواهد شد. در فهرست منتشر شده توسط اوپن‌ای‌آی، ردیف سوم مربوط به بررسی مسئله‌ای به نام «فرضیه شبه‌ریمان» است. سارناک تأیید می‌کند که این بخش با استفاده از یک دستیار رایانه‌ای برای اعتبارسنجی قضایا (نرم‌افزار لین)، بررسی شده و احتمالاً از اعتبار منطقی برخوردار است؛ اما این نتیجه هنوز اثبات اصل فرضیه را تضمین نمی‌کند.
الکس کانتوروویچ، رئیس دپارتمان ریاضیات دانشگاه راتگرز، با ابراز احترام نسبت به این دستاورد اظهار کرد که اگر چنین پاسخی نتیجه یک پژوهشگر انسانی بود، بلافاصله منجر به دریافت مدال فیلدز برای او می‌شد. با این وجود، کانتوروویچ بر این اعتقاد است که حل معمای اصلی ریمان به‌راستی نیازمند ابداع مفاهیم کاملاً نو و متفاوتی خواهد بود.
حدس برچ و سوئینرتون-دایر: مرزهای نوین در نظریه اعداد
حدس برچ و سوئینرتون-دایر نخستین بار در اوایل دهه ۱۹۶۰ توسط برایان جان برچ و سر پیتر سوئینرتون-دایر، دو ریاضی‌دان بریتانیایی، با کمک یکی از نخستین کامپیوترهای لامپ خلاء بیان شد. این چالش اساسی در نظریه اعداد، بر شمارش نقاط گویا بر روی منحنی‌های بیضوی تمرکز دارد؛ ساختارهای جبری که با دسته‌ای خاص از معادلات درجه سه تعریف می‌شوند.
مانجول بارگاوا، برنده مدال فیلدز از دانشگاه پرینستون، اهمیت این مورد را با نحوه حل معادلات در دوران مدرسه مقایسه می‌کند. به‌دست آوردن جواب‌های گویا برای معادلات درجه دو با هر تعداد متغیر، و همچنین حل معادلات درجه سه با یک متغیر از دیرباز امکان‌پذیر بوده است؛ اما زمانی که معادلات درجه سه به دو متغیر می‌رسند، دانش کنونی در پیدا کردن یک الگوریتم قطعی برای کشف تمام جواب‌های گویا ناتوان است.
حدس برچ و سوئینرتون-دایر الگوریتمی کلی را برای حل این معادلات دو متغیره ارائه می‌دهد که راهی به سوی حل معادلات جبری در تمامی درجات به شمار می‌رود. به گفته بارگاوا، مورد شماره ۲ در فهرست ارائه شده از سوی اوپن‌ای‌آی به‌طور مستقیم به این حدس پرداخته و مبانی محکم‌تری برای پژوهشگران فراهم کرده است. هرچند که برای اثبات نهایی و جامع این نظریه هنوز راه درازی در پیش است.
حدس هاج: پیوند هندسه فضایی و ساختارهای جبری
ردیف ۳۲ در مستندات این شرکت، مرزهای نظریه حدس هاج را مورد بحث قرار می‌دهد. دیوید مامفورد، استاد بازنشسته دانشگاه براون و برنده مدال فیلدز ۱۹۷۴، این دستاورد را به‌عنوان یک حالت خاص از ساختار اصلی مسئله توصیف کرده است. حدس هاج در سال ۱۹۵۰ توسط سر ویلیام هاج مطرح شد و بر حوزه‌ای پیچیده از هندسه جبری تمرکز دارد؛ شاخه‌ای که ارتباط میان معادلات تحلیلی و اشکال هندسی را بررسی می‌کند.
در این دانش، اشکال یا ساختارها از طریق معادلات جبری در ابعاد مختلف تعریف می‌شوند که به آنها «چندوجهی» گفته می‌شود. حدس هاج به «خرده‌ورایتی‌ها» می‌پردازد؛ ساختارهایی که درون یک سازه بزرگ‌تر قرار دارند. اگر هندسه نرم یا توپولوژی را به‌عنوان سایه‌ای کشسان از یک فضا در نظر بگیریم و معادلات جبری را به‌عنوان استخوان‌بندی سفتی تلقی کنیم که این سایه را ایجاد کرده، حدس هاج به دنبال این است که ببیند آیا هر سایه با تقارن خاصی، حتماً به‌دلیل یک ساختار جبری ویژه به وجود آمده است یا خیر.
مامفورد می‌گوید اثبات این گزاره به رویکردهای بنیادی و بی‌سابقه‌ای نیاز دارد. او افزوده است که احتمال نادرست بودن این حدس کم نیست و اگر فرضیه دچار نادرستی باشد، یک مثال نقض ساده می‌تواند آن را باطل کند. این حوزه از علم، جایی است که سامانه‌های یادگیری ماشین و هوش مصنوعی توانایی عالی دارند.
مسئله P در برابر NP: محدودیت‌های بنیادین در پردازش رایانه‌ای
پرسش در مورد برابری یا عدم برابری P و NP یکی از اصلی‌ترین مسائل در علوم کامپیوتر نظری است که دنیای ریاضیات را به تسهیلات فناوری متصل می‌کند. مایکل سیپسر، استاد برجسته مؤسسه فناوری ام‌آی‌تی، با سادگی مفهوم آن را توضیح می‌دهد: دسته P شامل مسائلی است که رایانه‌ها می‌توانند در زمان کوتاه به راه‌حل آنها برسند، در حالی که دسته NP شامل مسائلی است که اگر راه‌حلی برای آنها ارائه شود، صحت آن به سرعت قابل بررسی است. همانند بازی سودوکو، که تایید پاسخ آن بسیار راحت‌تر از حل آن از نقطه ابتدایی است.
جوهر اصلی این مسئله این است که آیا این برداشت اولیه واقعاً درست است و آیا مسائلی وجود دارند که تأیید پاسخ آنها آسان اما خود کشف راه‌حل آنها طاقت‌فرسا باشد؟ اثبات این‌که P برابر با NP نیست، مرزهای بنیادی پردازش اطلاعات را ترسیم خواهد کرد؛ پدیده‌ای مشابه با محدودیت سرعت نور در قوانین فیزیک. برعکس، اگر ثابت شود که P با NP برابر است، انقلابی غیرقابل تصور در الگوریتم‌های بهینه‌سازی، شکستن رمزنگاری‌های امنیتی و اتوماسیون هوشمند به وجود خواهد آمد.
پژوهشگران دهه‌هاست که در راستای پیشبرد این موضوع با بن‌بست مواجه شده‌اند. ردیف ۱۲۹ گزارش اوپن‌ای‌آی به گزاره‌ای نزدیک به این موضوع، یعنی «حدس کوتاهی وضعیت ساکودا-سیپسر» پرداخته است؛ موضوعی که سیپسر در مقطع تحصیلات تکمیلی خود در دهه ۱۹۷۰ روی آن کار کرده و همچنان بدون حل مانده است. با وجود اهمیت محاسباتی آن، این دستاورد هنوز ناکام در حل خود اصل مسئله P در برابر NP است.
نظریه یانگ-میلز و شکاف جرمی: تقاطع ریاضیات دقیق و فیزیک کوانتومی
طبق نظر ادوارد ویتن، فیزیک‌دان مشهور نظری در موسسه مطالعات پیشرفته و اولین فیزیک‌دانی که مدال فیلدز را دریافت کرد، هیچ‌کدام از بخش‌های گزارش اوپن‌ای‌آی به‌طور مستقیم نظریه یانگ-میلز را هدف قرار نداده‌اند. با این حال، پژوهشگران این شرکت موفق به حل موضوعی فرعی و هم‌معنا شده‌اند که در ردیف ۲۱۵ دسته‌بندی شده است.
مسئله یانگ-میلز در واقع یک بحث نظری میان فیزیک تجربی و ریاضی محض است. در حالی که نظریه‌های کوانتومی در آزمایشگاه‌ها عملکرد بسیار خوبی دارند، پایه‌های ریاضی دقیق آنها هنوز به‌طور رسمی اثبات نشده‌اند. نظریه کوانتومی یانگ-میلز که در سال ۱۹۵۳ به‌وجود آمد، چارچوبی غیرخطی برای تبیین نیروهای هسته‌ای قوی ساختمان‌دهنده پروتون‌ها و نوترون‌ها محسوب می‌شود. کشف پدیده «آزادی مجانبی» در سال ۱۹۷۳ نشان داد که اثبات وجود این نظریه در فضا-زمان چهار بعدی برای درک ذرات زیراتمی چه میزان حیاتی است.
بخش دوم و دشوارتر معما به «شکاف جرمی» اشاره دارد؛ به این معنا که چرا ذراتی مثل پروتون و نوترون دارای جرم هستند و نمی‌توانند مانند فوتون‌ها با سرعت نور در کائنات حرکت کنند. فیزیک‌دانان در محاسبات عددی به وجود این جرم پی برده‌اند، اما اثبات ریاضی دقیق فاصله میان جرم صفر و سبک‌ترین ذره پیش‌بینی‌شده در این نظریه هنوز محال به‌نظر می‌رسد.
ویتن که پیش از این شکاف جرمی را به‌عنوان آخرین مسئله حل‌شدنی از مسائل هزاره پیش‌بینی کرده بود، پس از مرور پنج مقاله منتشر شده تحت مسئله ۲۱۵ از هوش مصنوعی ابراز شگفتی کرد که توانسته است شکاف جرمی را در یک مدل تقریباً معادل اثبات کند. هرچند او نسبت به دستیابی به راه‌حل جامع نظریه یانگ-میلز با تکیه بر روش‌های کنونی احتیاط می‌کند، اما اعتراف می‌کند که داده‌های محاسباتی جدید افق‌های تازه‌ای برای بازنگری در فیزیک ذرات ایجاد کرده‌اند.
نظرات کاربران